P5220 特工的信息流 题解

发布于 2021-02-26  405 次阅读


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@GuidingStar 让我来做这道题目然后我就做了一下,结果因为一个愚蠢的错误调了一个小时代码……

题意

给定一棵树,维护区间后缀积之和,支持单点修改。

解析

个人觉得没那么难想(嗯,搞死我的是细节)。

我们先考虑线段树上如何维护这个东西。我们可以在维护区间后缀积之和的同时维护一下区间积,然后合并的时候只需要将左区间后缀积之和乘上右区间积,再加上右区间后缀积之和就好了。

然后我们考虑怎么将这个东西搬到树上。考虑树链剖分(LCT我不会啊)。

我们如果要查询点 $x,y$ 之间那段路径,就是将两边分别往上跳,然后在交汇处合并一下就行了。这时候容易想到,$x$ 往上跳时,跳的方向和 dfs 序的方向是相反的,也就是说此时的答案并非是后缀积之和而是前缀积之和,线段树再维护一下这玩意儿就好了。

单点修改非常容易,不多赘述。这些信息的查询也可以全部丢到一个函数里一起查询。

详见代码,都注释了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls u<<1
#define rs u<<1|1
using namespace std;
const int mod = 20924;
const int N = 4e5 + 5;
struct Segment_Tree {
    int prod, ans, fans;
} tree[N << 3];
struct edge {
    int to, nxt;
} e[N << 1];
int cnt, head[N], n, m;
int a[N], w[N];
char ch[20];
inline void add(int u, int v) {
    e[++cnt].to = v;
    e[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}
int dep[N], son[N], siz[N], fa[N];
inline void dfs1(int u, int f) {
    dep[u] = dep[f] + 1;
    fa[u] = f; siz[u] = 1;
    for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (v == f) continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
}
int top[N], id[N], tot;
inline void dfs2(int u, int Top) {
    id[u] = ++tot;
    a[tot] = w[u];
    top[u] = Top;
    if (!son[u]) return;
    dfs2(son[u], Top);
    for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (v == fa[u] || v == son[u]) continue;
        dfs2(v, v);
    }
}
inline void pushup(int u) {
    tree[u].prod = tree[ls].prod * tree[rs].prod % mod;//合并
    tree[u].ans = (tree[rs].ans + tree[ls].ans * tree[rs].prod % mod) % mod;
    tree[u].fans = (tree[ls].fans + tree[rs].fans * tree[ls].prod % mod) % mod;
}
inline void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) {
        tree[u].ans = tree[u].prod = tree[u].fans = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(ls, l, mid); build(rs, mid + 1, r);
    pushup(u);
}
inline void update(int u, int l, int r, int x, int k) {//单点修改
    if (l == r) {
        tree[u].prod = (tree[u].prod + k) % mod;
        tree[u].ans = (tree[u].ans + k) % mod;
        tree[u].fans = (tree[u].fans + k) % mod;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (mid >= x) update(ls, l, mid, x, k);
    else update(rs, mid + 1, r, x, k);
    pushup(u);
}
int prod, ans, fans;
inline void query(int u, int l, int r, int L, int R) {//三个东西一起查询
    if (l >= L && r <= R) {
        prod = tree[u].prod;//区间积
        ans = tree[u].ans;//区间后缀积之和
        fans = tree[u].fans;//区间前缀积之和
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int tp = 0, ta = 0, tf = 0;
    if (mid >= L && mid < R) {//两边都有,需要合并
        query(rs, mid + 1, r, L, R);
        tp = prod, ta = ans, tf = fans;//记录右边的返回值
        query(ls, l, mid, L, R);
        ta = (ta + ans * tp) % mod;//合并
        tf = (fans + tf * prod) % mod;
        tp = prod * tp % mod;
        prod = tp; ans = ta; fans = tf;
    }
    else if (mid < R) {
        query(rs, mid + 1, r, L, R);
    }
    else if (mid >= L) {
        query(ls, l, mid, L, R);
    }
    return;
}
inline void queryTree(int x, int y) {
    int sa = 0, ta = 0, tp = 1;
    while (top[x] != top[y]) {
        if (dep[top[x]] >= dep[top[y]]) {
            query(1, 1, n, id[top[x]], id[x]);
            sa = (fans + sa * prod) % mod;//x 向上跳方向时和 dfs 序是反的,用 fans,合并同样注意方向
            x = fa[top[x]];
        }
        else {
            query(1, 1, n, id[top[y]], id[y]);//y 向上跳方向时没问题,直接用 ans
            ta = (ta + ans * tp) % mod;
            tp = tp * prod % mod;
            y = fa[top[y]];
        }
    }
    if (dep[x] < dep[y]) {//判断最后一段的方向
        query(1, 1, n, id[x], id[y]);
        ta = (ans * tp + ta) % mod;//先和中间这段合并
        tp = tp * prod % mod;
        sa = (sa * tp + ta) % mod;//再把两段合并起来
    }
    else {
        query(1, 1, n, id[y], id[x]);
        ta = (fans * tp + ta) % mod;
        tp = tp * prod % mod;
        sa = (sa * tp + ta) % mod;
    }
    printf("%lld\n", sa);
}
signed main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &w[i]);
    for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
        scanf("%lld%lld", &u, &v);
        add(u, v); add(v, u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1, a, b; i <= m; i++) {
        scanf("%s", ch);
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        if (ch[0] == 'Q') queryTree(a, b);
        else update(1, 1, n, id[a], b);
    }
    return 0;
}

至于我调了好久的原因:查询函数写得太垃圾了导致个别情况下 $prod,ans,fans$ 没有正确返回,然后把这玩意儿搞工整一点靠谱一点就过了(自闭)。


月流华 岁遗沙 万古吴钩出玉匣