【笔记】概率论与数理统计（施工中）

基本信息

样本空间：所有可能结果构成的集合（$S={E}$，$E$ 为所有可能的结果）
- $S={正面，反面}$ 有限个
- $S={0,1,2,3,\dots}$ 或 $S={0,4,8,12,\dots}$ 可列个
- $S={x|a \le x \le b}$ 连续的
样本点：试验的每一个结果
随机事件：样本空间的任一子集，简称事件，常用字母 $A,B,C$ 表示
- $S$ 为必然事件（必然事件发生概率为 $100\%$，而发生概率为 $100\%$ 的事件不一定为必然事件）
- $\emptyset$ 为不可能事件
基本事件：只含有一个样本点的事件

包含 $A \subset B$ (若 $A$ 发生，则 $B$ 发生)
相等 $A=B$ ($A \subset B $ 且 $B \subset A$)
和事件 $A \cup B$ 两者至少有一个发生，也可用 $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$
积事件 $A \cap B$ 两者同时发生（$\cap$ 符号可以省略，如 $AB$）
- 当 $A\cap B = \emptyset$，称 $A$ 与 $B$ 互不相容，或称互斥
- 若 $A \cup B = S$ 且 $A \cap B = \emptyset$，称 $A,B$ 互逆，将 $B$ 记为 $\overline{A}$
差事件 $A-B = A \cap \overline{B}$
德摩根定律 $\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n\overline{A_i}$，$\overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n\overline{A_i}$

频率 $f_n(A)$ 体现了事件 $A$ 发生的频繁程度
- $0 \le f_n(A) \le 1$
- $f_n(S)=1$
- 若 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 两两互不相容，则有 $f_n(\bigcup_{i=1}^k A_i) = \sum_{i=1}^n f_n(A_i)$
$A$ 的频率 $f_n(A)$ 的稳定值 $p$ 定义为事件 $A$ 的频率，记作 $P(A)=p$ （注，不能说 $\lim_{n \to \infty} f_n=p $，这是错误的）
- 非负性：$P(A) \ge 0$
- 规范性：$P(S)=1$
- 可列可加性：对于可列个互不相容的事件 $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$, 有 $P(\bigcup_i^{\infty}A_i)=\sum^{\infty}_i P(A_i)$
- 有限可加性：对于有限个互不相容的事件 $A_1,A_2,\dots,A_n$, 有 $P(\bigcup_i^{n}A_i)=\sum^{n}_i P(A_i)$
- $P(A)=1-P(\overline{A}),P(\emptyset)=0$ （发生概率为 $0$ 的事件不一定为 $\emptyset$）
- $P(B-A)=P(B)-P(AB)$ (当 $A\subset B$ 时，$P(B-A)=P(B)-P(A)$)，可化为 $P(B)=P(B-A)+P(AB)$
- $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，若有更多项，用容斥做即可

若 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 是试验的一组事件，且满足
1. $B_iB_j = \emptyset,i,j=1,2,\dots,n,i\neq j$
2. $B_1\cup B2\cup \dots \cup B_n=S$
全概率公式：$P(A)=\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)$，其中 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 是 $S$ 的一个划分，且 $P(B_j)>0,j=1,2,\dots,n$
贝叶斯公式：$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)}$ （分母为全概率公式，分子为第 $i$ 项）
$e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$

定义：$P(AB)=P(A)P(B)$
- 当 $P(A)P(B)\neq 0$ 时，$A$ 与 $B$ 相互独立等价于 $P(B|A)=P(B)$ 或 $P(A|B)=P(A)$
- 当 $A$ 与 $B$ 相互独立时，$A$ 与 $\overline{B}$，$\overline{A}$ 与 $B$，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 均相互独立。