题意 题目链接。 使用 coze.com 的 gpt-4 进行翻译和格式美化. 给定一个包含$N$个顶点的树$T$，设$F$是$T$的顶点的一个子集，如果$F$满足以下条件，则称$F$为$x$根火花： $F$包含顶点$x$ - $F$是$T$的连通子图——也就是说，由$F$导出的子图$T[F]$是连通的。 令$d_F(u)$表示节点$u$在$T[F…

题意 题目链接。 使用 coze.com 的 gpt-4 进行翻译和格式美化. 一个长度为$M$的数组$A$被称为前缀平衡，如果它满足以下条件： 让$S_A$表示在$A$中出现的所有元素的集合。 对于每个$x \in S_A$，和索引$i(1 \leq i \leq M)$，让$f_i(x)$表示$x$在$[A_1, A_2, \dots, A_i…

题意 题目链接。 给定一个序列 $y$​, 初始有一个全零序列 $x$​。每次可以选择一个长度为 $k$​ 的前缀或者一个长度为 $k$​ 的后缀将其加一，代价是 $k$​。问最少需要多少代价能使得对于所有 $i$​ 都满足 $b_i\geq a_i$​。 序列的长度范围为 $1 \le n \le 10^6$。 解答 Key 1: 考虑什么情况下…

这个笔记想写得稍微详细一点，部分内容来自我自己之前的博客: OI 里的数学内容整理（提高组）。 其中一些公式是 AI 从 PPT 上识别的，格式混乱，还请谅解。 整数分解与筛法 欧几里得算法 用于求解两个数的最大公因数。 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$。 int gcd(int a,int b){ return b==0?…

图匹配 二分图匹配 判定 静态：黑白染色。 动态：分层并查集。并查集可以维护的可以是点的连接关系，也可以是关系的连接方式。连接两个点，我们可以改为连接这两个点的逻辑关系，黑-白，白-黑。如果有一天同一个点的黑白被连在了一起，则这就不是一个二分图。 分层并查集经典例题：P2024 [NOI2001] 食物链。 最大匹配：匈牙利算法 模版：P3386 …

题意 题目链接 有 $n$ 种有体积和价值的物品和一个容量为 $m$ 的背包，每种物品有无数多个。 记第 $i$ 中物品最终在背包里放了 $a_i$ 个，我们需要这个答案序列先单调非降再单调非升，即有一个 $k$ 使得答案数列呈现 $a_1\le a_2\le \dots \le a_k \ge \dots \ge a_n$。 对于每一个背包容量 …

题意 题目链接。 给你一棵树，你可以在树上连两条边，这两条边会分别形成两个环，要求这两个环没有任何相同的边或结点，求连边的方案数。 解析 蛮有趣的一个树形 dp。 考虑对于所有的连边方案，在这四个点的 LCA 处进行统计。那么我们考虑对于一个点 $u$ ，有多少方案是以其为 LCA 的，发现共有以下几种情况： $2-2$ 结构：在 $u$ 的两棵不…

这是第一场所有赛题都由我命制的公开比赛，也是第二场我参与命题的公开比赛。 比赛时由于内测下来大家都觉得 D 比 E 难，就更换了 DE 的顺序，本篇题解中没有发生更换，望读者注意。 比赛链接：Link. A. 伊甸之花 题目链接：Link. 若乐曲中同时存在 $1$ 和 $m$ 则无解，否则一定可以通过整体上移/下移一个音调来满足条件，时间复杂度 …

基础数据结构（前缀和/差分/树状数组/线段树） 前缀和与差分 多维前缀和 多维前缀和可以通过一维一维处理的方式，将复杂度控制在可控范围。 例如二维前缀和求法： 1. $sum_{i,j}=a_{i,j}$ 2. $sum_{i,j}+=sum_{i-1,j}$ 3. $sum_{i,j}+=sum_{i,j-1}$ 例题：NC225630 智乃酱的…